Der in Algerien geborene und in Baku aufgewachsene Sohn eines aserbaidschanischen Universitätsprofessors entschied sich erst als Erwachsener zu einer Gesangslaufbahn. Nach seinem Studium in Italien, unter anderem bei Franco Corelli und Ghena Dimitrova, begann er dort auch seine Karriere und debütierte in Florenz, Rom und der Arena di Verona in zentralen Partien des italienischen Fachs, die nach wie vor den Kern seines Repertoires ausmachen. In den folgenden Jahren konnte Eyvazov weitere wichtige Debüts verbuchen, so wurde er ans Moskauer Bolschoi Theater, an die Los Angeles Opera, die Metropolitan Opera, die Opéra National de Paris und an die Staatsopern von Berlin und Wien eingeladen sowie zu den Festspielen von Macerata und Salzburg, wo er 2016 den Des Grieux in Puccinis »Manon Lescaut« sang. Weitere Partien, in denen er häufig zu erleben ist, sind der Kalaf (»Turandot«), Cavaradossi (»Tosca«), Manrico (»Il trovatore«), Don Carlo sowie Canio (»Pagliacci«) und Turiddu (»Cavalleria rusticana«). Im Dezember 2018 sang er zur Saisoneröffnung der Mailänder Scala die Titelpartie in Giordanos »Andrea Chénier« unter der Leitung von Riccardo Chailly, und im Sommer 2019 ist er bei den Salzburger Festspielen als Maurizio in »Adriana Lecouvreur« angekündigt. Seit 2015 ist Eyvazov mit Anna Netrebko verheiratet.